模型论是数理逻辑的一个分支，研究形式语言与其解释之间的关系。在编码智能体 harness 工程中，模型论提供了一个精确的分析框架：系统提示词是一个一阶理论 $T$，LLM 的每一次会话行为是一个结构 $M$，满足关系 $M ⊨ T$ 是衡量行为是否”正确”的数学基准。本章建立这套分析语言的全部核心概念，并揭示它在 LLM 系统中的三个根本性偏离。

模型论的基本概念

一阶语言 L: 符号的宇宙

数理逻辑中的一阶语言（first-order language）L 由两类符号构成：逻辑符号（逻辑连接词、量词、等词、变元）和非逻辑符号（常元符号、函数符号、关系符号）。逻辑符号对所有一阶语言是通用的；非逻辑符号决定了具体语言的”词汇量”——Signature $Σ = (C, F, R)$，其中 $C$ 是常元符号集、$F$ 是函数符号集（每个附有元数 n）、$R$ 是关系符号集（每个附有元数 n）。

语言 L 的语法是递归定义的：从项（terms）开始——常元符号和变元是最简项，用函数符号作用在其他项上生成复合项；项上施加关系符号得到原子公式；逻辑连接词（$¬$、$∧$、$∨$、$→$、$↔︎$）和量词（$∀$、$∃$）组合原子公式得到公式。这一套递归定义保证了语言的良基性（well-foundedness）：每个表达式有唯一的构造树。

在模型论语境中，语言 L 本身不含意义。符号是在解释中获得意义的。

L-结构 M: 符号的执行

给定一阶语言 L，一个 L-结构（L-structure）M 提供以下要素：

• 论域（universe）$|M|$：一个非空集合，结构中的一切都在其中取值。
• 常元解释：对每个常元符号 $c ∈ C$，M 赋予一个具体元素 $c^M ∈ |M|$。
• 函数解释：对每个 $n$ 元函数符号 $f ∈ F$，M 赋予一个映射 $f^M: |M|^n → |M|$。
• 关系解释：对每个 $n$ 元关系符号 $R ∈ R$，M 赋予一个子集 $R^M ⊆ |M|^n$。

L-结构是”意义”的载体。语言 L 中的符号在这里获得具体指称：常元成为数据、函数成为操作、关系成为约束条件。

在 harness 工程中，L-结构的映射既直接又富有启发性：

论域 $|M|$ 则是会话期间 LLM 可触及的所有实体：消息文本、文件内容、命令输出、工具返回值、LLM 的思维链（reasoning content）、用户消息中的自由变量。这是一个动态的、异质的、不断增长的对象集合。

满足关系 M ⊨ T

当且仅当结构 M 中的解释使理论 T 的所有句子（sentence——无自由变量的公式）为真时，称 M 是 T 的一个模型，记为 $M ⊨ T$。满足关系（satisfaction relation）是用递归方式定义的：从原子公式的赋值开始，通过逻辑连接词和量词的语义规则上升到复合公式。这个递归定义保证了满足关系的良基性——每个公式的真值最终可以归结到原子层次的可判定检查。

满足关系的核心性质是：